高等代数814B卷试题.doc

一、填空题（共35分，每题5分．答案一律写在答题纸上，否则无效．）

1、设为3阶方阵, 且,为的伴随矩阵，则   ．

2、设阶方阵满足，则 ．

3、复系数矩阵的约当标准形为 ．

4、已知实二次型的秩为2，则其正惯性指数为 ．

5、设，且，则 .

6、设为中全部对称矩阵组成的子空间，则= ．

7、设为维欧氏空间的一个正交变换，则的实特征值只有 .

二、（10分）计算阶行列式

．

三、（20分）设有非齐次线性方程组

取何值时，此方程组有唯一解、无解或有无限多解？并在有无限多解时求其通解.

四、（15分）叙述艾森斯坦（Eisenstein）判别法，并证明.

五、（10分）设都是阶实对称矩阵，且正定，证明：的特征值都是实数.

六、（10分）设是阶正定矩阵，为维非零实向量，且当时，有，证明：线性无关.

七、（10分）设与是线性空间中的两组线性无关的向量组，它们生成的子空间分别为，证明：的维数等于齐次线性方程组

的解空间的维数.

八、（20分）设是全体次数不超过的实系数多项式，再添上零多项式组成的实数域上的线性空间，定义上的线性变换：

（1）（15分）求与；

（2）（5分）证明：（表示直和）.

九、（10分）设是维欧氏空间，是上的线性变换，如果既是正交变换又是对称变换，证明：为恒等变换.

十、（10分）设是有限维欧氏空间，内积记为，设为的一个正交变换，令线性空间

证明： （表示直和）.