考试科目：实变函数

试卷满分及考试时间：试卷满分为100分，考试时间为180分钟。

考试内容 

一、 集合论基础

1. 集合及其运算；

2.集合的基数；

3.可数集与不可数集。

二、 Rn中的拓扑

1.开集与闭集，内点，聚点，导集，闭包 ；

2.开集的构造定理；

3.康托（Cantor）三分集，完备集，疏朗集，稠密集，紧致集。

三、 测度理论 

1.外测度的概念和基本性质；

2.Lebesgue可测集的概念与Caratheodory条件；

3.Lebesgue可测集全体W的各种整体性质（如可列可加性等）；

4.不可测集的构造；

5.Lebesgue可测集的等价概念；

6.代数，s代数，Borel集。

四、 可测函数 

1. 可测函数及其性质；

2.测函数列的逐点收敛、近一致收敛、依测度收敛；

3.用连续函数逼近可测函数，鲁金（Lusin）定理。

五、 Lebesgue积分 

1.Lebesgue积分的定义与性质；

2.可测函数列积分收敛定理，Lebesgue积分的绝对连续性；

3.Lebesgue积分与Riemman积分的关系；

4.重积分、累次积分、Fubini定理；

5.有界变差函数，绝对连续函数，Lebesgue-Stieltjes积分。

基本要求

一、 集合论基础

1.熟练掌握 集合各种运算（包括集合列的上、下极限集）；

2.理解集合基数、可数集与不可数集等概念，熟练掌握集合基数的比较和计算方法；

3.理解Bernstein定理及Cantor对角线法。

二、 Rn中的拓扑

1.掌握度量概念，和由此引出的内点，聚点，导集，闭包，开集与闭集等概念及其性质；

2.理解1维与2维以上欧式空间开集的构造定理，并能在后面的测度理论中意识到它们的区别；

3.掌握完备集，疏朗集，稠密集，紧致集等基本概念，并能对康托（Cantor）三分集、广义康托（Cantor）集做相应探讨。

三、 测度理论 

1.理解外测度、测度的概念及其区别，能够运用Caratheodory条件推导Lebesgue可测集各种性质；

2.掌握不可测集的构造方法与破坏可列可加性的反例；

3.掌握开集、闭集、Gd集、Fs集与可测集的关系，熟练运用等测包、等测核概念证明集合的可测性；

4.理解代数、s代数、Borel集的概念，掌握Borel集与Lebesgue可测集的关系。

四、 可测函数 

1.理解可测函数与简单函数之间的关系，并能用可测函数基本概念、简单函数列逼近两种方法证明各种性质；

2.掌握可测函数列的逐点收敛、近一致收敛、依测度收敛的关系及证明方法（包括叶果洛夫（Egoroff）定理，黎斯（Riesz）定理），理解依测度收敛的重要性；

3.掌握连续函数与可测函数的关系，能够运用鲁金（Lusin）定理解决相关问题。

五、 Lebesgue积分 

1.掌握Lebesgue积分的定义与性质；

2.能够运用Levi引理、Fadou引理、Lebesgue控制收敛定理解决可测函数列积分收敛问题，理解Lebesgue积分的绝对连续性；

3.理解Lebesgue积分与Riemman积分的关系，并能据此进行各种积分运算；

4.理解重积分、累次积分、Fubini定理，并能进行简单的运算；

5.理解Vitali覆盖、单调函数的Lebesgue定理、有界变差函数、绝对连续函数、Lebesgue-Stieltjes积分。

参阅 

《实变函数论》（第二版），周民强，北京大学出版社，2008年